先々週の話です。
お風呂に入った時、
不舟の中に息子が遊ぶためのボールが浮いていました。
何の気なしにボールを掴んでお風呂の中に沈めたり浮かしたり
していたわけですが、
ボールをお湯に沈めると
お風呂の水面が上がります。
ボールをお湯から出すと
お風呂の水面が下がります。
つまり、ボールの体積（面積）の分だけ
お湯の湯面が上下するわけです。
さて、ここで疑問が出てきました。
球体の面積ってどうやって測るんだったっけ？？
お湯に浸かりながら考えます。
円周の長さは円の半径ｒの２倍（直径）の３．１４倍
つまり２πｒです。
円の面積は半径×半径×３．１４
つまりπｒ＾2です。
円の面積は１辺がｒの正方形の面積の３．１４倍とうことですね。
では球の面積は１辺がｒの立方体の３．１４倍（πｒ＾3）なのかな？？
お風呂から出てネットで調べてみると
球の面積は4/3πｒ＾3ということでした。
私が考えたπｒ＾3は間違いでした。
お風呂のボールから始まった球の面積を考えるという疑問。
息子が大きくなって質問された時にきちっと答えられるようにと
ない知恵を絞って考え続けました。
最初の発想は
円の面積を１８０度くるっと回せば体積になるはず。
πｒ＾2に円周の半分を掛けて見ると
π＾2ｒ＾3です。
まずネットで調べた4/3πｒ＾3で考えます。
半径が1ｃｍの時
球の面積は4.18立法ｃｍ
私が考えた式π＾2ｒ＾3だと
球の面積は25.12立方ｃｍになってしまいます。。。。。
この考えはNG
私は高校２年まで理系でしたが、
微積分と数列が一緒になり始めた時点で挫折。
そこから文系に切り替えたわけですが、
微積分のさわりだけは高校生の頃に勉強していました。
なんとなく覚えている積分という考え方。
確か面積を求めるのに積分という考え方が使えるはず（たぶん）
円を平行にスライスして
スライスした円の面積を全部足せば
それが球の面積となるはずです。
でもどうやって積分すればよいのかさっぱり分かりません。
球をまず均等に半分に切ります（半球体）
切り口の面積は単純にπｒ＾2ですね。
任意の高さＸでこの半球体を平行にどんどんスライスしてみます。
球の半径をｒ
任意の高さをｘ
切り口の半径をa
とします。
任意の高さｘでスパッと切った時の円の半径aをまず求めます。
斜面の長さは半径ｒ、
高さがｘの直角三角形であるから
ピタゴラスの定理ｃ＾2＝a^2+b^2が使えますので、
aの長さは√ｒ＾2-ｘ＾2です。
すると
任意の高さｘで
半球体を平行にでスパッと切った時の切り口の円の面積は
π（ｒ＾2-ｘ＾2）
今球体は半分にぶった切った状態ですので、
このときｘの値は0≦ｘ≦ｒ
これを全て足したやつを２倍にすれば球体の面積になるはず。
しかし、微積分など完全に忘れているので、
これ以上の考えがでてきません。。。
微積分を考えたニュートン以前の人達は
どうやって球の面積を求めていたんでしょう？？
今分かっているのは4/3πｒ＾3が球体の面積と言う事実。
これを何とか証明したい。
球の面積の公式4/3πｒ＾3.
まずπｒ＾3、これを4/3したものが球の面積ということですね。
πｒ＾3は
半径ｒ
高さｒの円柱の面積です。
これを4/3すれば円の面積。
なんでだ？
なんで4/3するんだ。。。。
わかりません。
4/3がわかりません。
4/3とはつまり、1/3の4倍です。
1/3かぁ・・・
円柱の1/3をまず考えます。
そういえば、円錐も三角錐も四角錐も
面積を求める時は底辺の面積×高さ×1/3でしたね。
なんで全て1/3かの証明はここでは割愛。
興味ある人はネットで調べると証明の方法がいっぱい出てきます。
えー、
半径ｒ、高さｒの円柱から
半径ｒ、高さｒの円錐を取り除くと、
円柱の残りは全体の2/3ということになる。
したがって、円柱から円錐を取り除いた物体の面積は
2/3πｒ＾3
これを２倍にすれば4/3πｒ＾3ですから、
円の面積になるということか・・・
やったーー！と一瞬思ったわけですが、
スタートの発想が既に分かっている
球の面積の公式から始まっているからわけだから
そもそもこんな公式がなかった時代の人が
半球体の面積と
円柱から円錐を取り除いたものの面積が
一緒であると思いつくはずがない。
依然としてなぞでした。
なにか答えに近づいたようで
近づいていないようで、
にわかにはよくわかりません。。。。
そこで出てきたガヴァリエの法則。
底面積が同一で高さが同じ２つの物体を
平行にスパッとぶった切った時の切り口の面積が
常に等しければ２つの物体の面積は等しい。
これはなんだか使えそう。
先ほど半球体を平行に任意の位置ｘでぶった切った切り口の面積（Ｓ）を
出した式、Ｓ＝π（ｒ＾2-ｘ＾2）と
半径ｒ、高さｒの円柱から円錐を取り除いた物体（仮にＡとします）
の切り口の面積が同一なら
半球とＡの面積は同じと言うことになるわけです。
Ａの物体を任意の高さｘで平行にスパッとぶった切った面積は
底面の面積πｒ＾2から任意の高さｘで切り抜いた時の
円錐の切り口の面積を引けば出てきます。
したがって、
切り口の面積をＳ’とすると
Ｓ’＝πｒ＾2-（πｘ＾2）ですから
Ｓ’＝π（ｒ＾2-ｘ＾2）
したがってＳ＝Ｓ’と言うことになる！！
これで半球体と物体Ａの面積は等しいことが証明されました。
したがって
半径ｒ の球体の面積は
半径ｒ、高さｒ、の円柱の4/3と等しいことが証明されました。
微積分を使ったほうが簡単に求まるんでしょうけど、
微積分なんてとっくの昔に忘れてしましました。。。。
ちゃんと勉強しなおしたいです。
ちなみに
球の表面積は４πｒ＾3
これは半径ｒ、高さ２ｒ の円柱の側面の面積と全く一緒。
いやー、数学って不思議がいっぱいです。
球体や円はバイクでも車でも、
日常生活に多岐にわたって使用されています。
そう考えるとπってなんだろう？とか
そもそも数字ってなんだろう？とか
素数ってなんだろう？とか
あー、ホント疑問は尽きません。
ここまで考えるのに２週間近くかかりました。
微積分のなかった昔の人（ピタゴラスとかガヴァリエとか）の
発想力ってまさに天才的なヒラメキです。
今はバイク屋という商売上、物理や数学に興味津々ですが、
なんで高校の時もっと頑張らなかったんだろうと
いまさらながら強く思います。
あそこで挫折していなかったら、
きっと今のバイク屋業に生きた知識を
投入できたはずですな、きっと。
もう一度算数から習いたい。
球体の面積を求める説明は上記のように
微積分を使わなくても
出来るようになったわけですが、
息子に質問された時、
息子が平方根（√)や
ピタゴラスの定理（Ｃ＾2＝ａ＾2+ｂ＾2）や
やガヴァリエの法則を
理解できるかは、はなはだ疑問・・・・
球体ってほんと不思議の塊ですね。
もう一度、算数から学び始めたい気分です。
そもそも、息子の質問がロジックな質問に発展するまで、
まだまだ先の話ですね。
きっと、「なんで箸は２本なの」とか
「タイヤはなんでタイヤって言うの？」とか
答えのない質問に、どうやって答えるか
球の面積より難しいかもしれません・・・
おしまい。
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